Probabilités et statistique

1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $0 < p < 1$. Pour tous les entiers $a,b$ avec $a \geq 1$, déterminer la limite lorsque $n$ tend vers l'infini de la probabilité pour que $a$ divise $X - b$.

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2. Un tiroir contient des chaussettes rouges et des chaussettes noires. Lorsque deux chaussettes sont tirées au hasard, la probabilité que les deux soient rouges est $\tfrac{1}{2}$.

   1. Quel est le nombre minimal de chaussettes dans le tiroir ?

   2. On suppose qu'il y a un nombre pair de chaussettes noires. Quel est le nombre minimal de chaussettes dans le tiroir ?

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3. Un train est composé de $n$ wagons. Chacun des $p$ passagers choisit au hasard le wagon dans lequel il souhaite monter.

   1. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un passager dans chaque wagon?
   2. Quelle est la probabilité qu'exactement $r$ wagons soient occupés ?

   3. Soit $p\in\{1,\dots,n\}$. Calculer maintenant la somme $\displaystyle\binom{n}{1}1^p - \binom{n}{2}2^p + \binom{n}{3}3^p - ... + (-1)^{n-1}\binom{n}{n}n^p$.

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4. Les tickets d'un cinéma coûtent 5 francs chacun. Au moment où le cinéma ouvre ses portes, il n'y a pas d'argent dans la caisse. $n + m$ personnes font la queue à l'entrée du cinéma; $n$ d'entre elles ont des billets de cinq francs et les $m$ autres n'ont rien de plus petit que des billets de dix francs.

   1. Si chaque client achète un seul ticket, quelle est la probabilité qu'aucun d'entre eux n'ait à attendre pour la monnaie?
   2. Résoudre le même problème sous l'hypothèse qu'il y avait initialement $p$ billets de cinq francs dans la caisse.

   3. On suppose qu'il existe des billets de trois francs en circulation. $n + m$ personnes font la queue à l'entrée d'un cinéma; $n$ d'entre eux n'ont qu'un seul franc et les $m$ autres ont seulement des billets de trois francs. Les tickets au cinéma coûtent 1 franc chacun et chaque personne veut un ticket. Lorsque le cinéma ouvre il n'y a pas d'argent dans la caisse. Quelle est la probabilité qu'aucun d'entre eux n'ait à attendre pour la monnaie ?

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5. Un fumeur achète deux boites d'allumettes et les met dans sa poche. Chaque fois qu'il allume une cigarette, il prend au hasard une allumette dans l'une des boites. Donc, au bout d’un certain temps, il prend une boite au hasard, l'ouvre et remarque qu'elle est vide (on suppose qu'il ne se rend compte qu'une boite est vide qu'au moment où ouvre la boite pour y prendre).

   1. On suppose que les deux boites contiennent initialement le même nombre $n$ d'allumettes. Soit $k\in\{0,\dots,n\}$. Quelle est la probabilité pour qu'il reste $k$ allumettes dans une boite au moment où le fumeur remarque que l'autre est vide ?

   2. En utilisant le résultat précédent, évaluer la somme $\displaystyle\binom{2n}{n} + 2\binom{2n-1}{n} + 2^2\binom{2n-2}{n} + ...+ 2^n\binom{n}{n}$

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6. Une urne contient $2n$ boules soigneusement mélangées, dont $n$ sont blanches et $n$ sont noires.

   1. Les yeux bandés, $n$ personnes tirent successivement deux boules dans l'urne (les boules tirées ne sont pas remises). Quelle est la probabilité pour que chaque personne tire deux boules de couleurs différentes ?

   2. Dans les mêmes conditions, quelle est la probabilité pour que chaque personnes tire deux boules de la même couleur ?

   3. Hors-programme. À l'aide de la formule de Stirling $n! \sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$, donner un équivalent des probabilités obtenues lorsque $n$ tend vers l'infini.

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Hors-programme

1. 1. Calculer le nombre $d_n$ de permutations de $\{1,\dots, n\}$ sans point fixe.

   2. On note $p_n$ la probabilité pour qu'une permutation choisie aléatoirement dans $S_n$ (muni de la loi uniforme) ne possède pas de point fixe. Calculer $p_n$. Que dire de sa limite ? On note $p$ cette limite.

   3. Calculer $s_n$ le nombre moyen de points fixes d'une permutation de $\{1,\dots, n\}$.

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