Continuité

  1. Est-ce qu'il existe une fonction « relativement » simple faisant office de contre-exemple de la réciproque du TVI ? [Source]

  2. Soit , continue sur , telle que et pour tout , . Déterminer . [Source]

  3. Soit une fonction continue telle que . Montrer que admet un point fixe. [Source]

  4. Soit une fonction continue telle que . Montrer que il existe tel que [Source]

  5. Soit une fonction définie et continue sur . On a, pour tout réel , . Démontrer que f est constante. [Source]

  6. On dit qu'une fonction est surjective, si: .

    Soit une fonction continue et surjective. Montrer que chaque point de est atteint une infinité de fois. [Source]

  7. Soit deux fonctions f et g continues sur . Montrer que est continue sur . [Source]

  8. Soit un intervalle de et soit continue :

    Montrer que la fonction de dans : est la plus petite des fonctions croissantes majorant , puis qu'elle est continue. [Source]

  9. Soit périodique non constante (une période de est par convention strictement positive).

    On appelle « plus petite période de », si elle existe, une période qui est inférieure à toute autre période de .

    1. Si on suppose que admet une plus petite période montrer que les périodes de sont exactement les pour entier non nul

    2. Exhiber une fonction admettant pour ensemble de périodes (et donc pas de plus petite période)

    3. Si n'admet pas de plus petite période, peut-elle être continue ?

    4. En étudiant si et sinon, justifier que f est bien définie, non constante et admet deux périodes incommensurables (dont le quotient est irrationnel) [Source]

  10. Soient deux fonctions de dans telles que . On suppose que et que est continue en . Montrer que est continue en 0. [Source]

  11. On se donne continue et telle que et sont nuls. On sait de plus que pour tout x de , . Prouver que s'annule au moins 7 fois sur l'intervalle .[Source]

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