Énoncés dans l'ordre chronologique

1. Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs $a$ et $b$ tels que $a<b$ vérifiant $\displaystyle a^{b}=b^{a}$ sont de la forme $a= \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}$ et $b=\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$, $n$ entier naturel non nul. [Source]

2. Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs n'est pas le produit d'exactement deux nombres premiers. [Source]

3. Soit $\alpha\in [0,\pi]$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $V_n(\alpha)$ le nombre de changements de signes dans la suite $1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha)$. Montrer que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi}$. [Source]

4. Si $(A\cap B) \subset (A\cap C)$ et $(A\cup B) \subset(A\cup C)$ , quelle relation y a t-il entre $B$ et $C$ ? [Source]

5. Une maman a 21 ans de plus que son fils. Dans 6 ans elle aura 5 fois l'age de son fils. Ou se trouve son fils ? Quelle est sa taille ? [Source]

6. Monsieur et Madame Smith invitent quatre couples chez eux. Certains invités étaient des amis de Monsieur et d'autres des amis de Madame. Quand les invités sont arrivés ceux qui se connaissaient déjà se sont serrés la main, les autres se sont juste salués. Après cela, l'attentif Monsieur Smith a dit « Comme c'est intéressant. Si vous m'excluez, personne ne s'est serré la main le même nombre de fois. »

   Combien de mains Madame Smith a-t-elle serrées ? [Source]

7. Soit $n,p$ des entiers naturels. Dénombrer l'ensemble : $\{(k_0,k_1,.....,k_n) \in [1,n-p+2]^{n+1} \mid k_0+...+k_n=p+2\}$. Note. L'intervalle en question est un intervalle d'entiers. [Source]

8. Résoudre $2^n+1=m^3$ d'inconnue $(m,n) \in \mathbb{N}^2$. [Source]

9. L’entier $10000000000001$ est-il premier ? [Source]

10. Montrer que pour tout $(x,y,z,t,u) \in \mathbb{N}^5$, $x^2+y^2+z^2 \neq (8t+7)4^u$. [Source]

11. Soient $(x_1,\ldots,x_5)$ dans $\mathbb{R}^5$. On note $S$ la collection des $x_i+x_j, i \neq j$. Connaissant $S$, retrouver les $x_i$. [Source]

12. Soit $x,y\in \mathbb{N}$, on pose $A=\frac{x^2+y^2+1}{xy}$. Sachant que $A$ est un entier naturel, montrer que $A=3$. [Source]

13. Simplifiez $1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}}}}}}}$. Même question avec un nombre quelconque de traits de fraction. [Source]

14. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})$. [Source]

15. L'équation $x^2+xy+y^2=2$ admet-elle des couples de nombres rationnels $(x,y)$ comme solutions ? [Source]

16. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de nombres entiers définis par : $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $u_{2n} = u_n$ et $u_{2n+1} = 1 - u_n$.

    1. Calculer $u_{1990}$.
    2. Déterminer le nombre d’indices $n$, inférieurs ou égaux à $1990$, tels que $u_n = 0$.
    3. Soit $p$ un nombre entier naturel et $N = (2^p - 1)^2$. Calculer $u_N$. [Source]