1. Soit et dans . Supposons qu'il existe et premiers entre eux tels que . Montrer qu'il existe un entier naturel non nul tel que et que [Source]

  2. Montrer que pour tout premier , est un multiple de 24.[Source]

  3. Démontrer l'existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers. [Source]

  4. Soit et dans avec et différents de 0 et 1. Soit un entier naturel non nul.

    On pose premier. Démontrer que peut s'écrire avec . [Source]

  5. Traduire les assertions suivantes dans le langage mathématique (avec quantificateurs) et les démontrer :

    1. L’ensemble des entiers impairs n’a pas de maximum.

    2. La fonction de dans définie par est périodique.

    3. Entre deux rationnels distincts il y a au moins un troisième rationnel [Source]

  6. Soit et des réels strictement positifs et deux réels strictement positifs vérifiant

    On veut montrer l'inégalité :

    1. Montrer que si alors

    2. Montrer que l'inégalité de départ est vraie lorsque

    3. Montrer alors le cas général en choisissant et tel que et vérifient les hypothèses de la question 2

    4. Soit et . Montrer qu'il existe deux constantes et à préciser tel que pour tous on ait : [Source]

  7. Montrer qu'il existe un multiple de 1996 dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre 4. [Source]

  8. Soit dans (l'ensemble des nombres premiers), différent de deux. Trouver tous les couples tels que . [Source]

  9. On pose un ensemble de éléments, et un sous-ensemble de de éléments. Dénombrer le nombre de sous-ensembles de qui contiennent un et un seul élément de . [Source]

  10. On se place dans un repère orthonormé. Une souris, placée initialement en , cherche à atteindre un fromage, placé en avec et dans . Elle ne peut que se déplacer, à chaque étape de son chemin, d'une unité vers la droite, ou vers le haut. Combien de chemins peut-elle emprunter ? [Source]

  11. Déterminer le nombre de -uplets d'entiers naturels solutions de l'équation où n est un entier naturel donné.[Source]

  12. De combien de façons peut-on choisir couples dans , deux à deux distincts, de sorte qu'il existe une fonction réelle strictement croissante prenant en la valeur pour chaque ? [Source]

  13. [Source] (Intégrale de Poisson: quelle version laisser, celle de wallissen ou celle que je vous ai envoyé ?)

  14. Dans un jeu de 32 cartes, combien y a t-il de façons de choisir 6 cartes, telles que l'on ait 3 noires, 3 cœurs et aucun as ? [Source]

  15. On appelle mot de longueur tout succession de lettres distinctes ou non prises dans l'ensemble des 26 lettres de l'alphabet. Calculer

    1. le nombre des mots de longueur , puis le nombre des mots de longueur au plus égale à ;

    2. mêmes questions, mais les lettres de chaque mot étant distinctes. [Source]

    1. Soit et deux entiers naturels , montrer que l'on a :

    2. Soit et deux entiers naturels ) . On forme tous les sous-ensembles à éléments de l'ensemble et l'on considère pour chacun de ces sous-ensembles, son plus petit élément. On appelle la moyenne arithmétique de tous les membres ainsi obtenues.

    Montrer que [Source]

  16. [Source]

    1. Montrer qu'il existe

      1. Montrer qu'il en existe une infinité.

      2. Montrer que si est un réel tel que alors [Source]

  17. Combien y a t-il de nombre entiers inférieurs à et dont la somme des chiffres est inférieure ou égale à 3? [Source]

  18. Si on coupe fois un camembert, combien de morceaux obtient-on au maximum ? (on coupe droit) [Source]

  19. Soit n un entier naturel non nul. On note Z le nombre de diviseurs positifs de n, P leur produit. Etablir une relation mathématique entre n, P, et Z.[Source]

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