Soit $x$ et $y$ dans $\mathbb N^*$. Supposons qu'il existe $m$ et $n$ premiers entre eux tels que $x^m = y^n$. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul $z$ tel que $z^m = y$ et que $z^n = x$ [Source]

Montrer que pour tout premier $p\geq 5$, $p^2-1$ est un multiple de 24.[Source]

Démontrer l'existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers. [Source]

Soit $x$ et $y$ dans $\mathbb N$ avec $x$ et $y$ différents de 0 et 1. Soit $n$ un entier naturel non nul.

On pose $x^n + y^n$ premier. Démontrer que $n$ peut s'écrire $n = 2^i$ avec $i \in \mathbb N$. [Source]

Traduire les assertions suivantes dans le langage mathématique (avec quantificateurs) et les démontrer :

1. L’ensemble des entiers impairs n’a pas de maximum.

2. La fonction $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définie par $f(x) = \sin(\frac{x}{2})$ est périodique.

3. Entre deux rationnels distincts il y a au moins un troisième rationnel [Source]

Soit $(a_1,...a_n)$ et $(b_1,...b_n)$ des réels strictement positifs et $p, q$ deux réels strictement positifs vérifiant $1/p + 1/q = 1$

On veut montrer l'inégalité :

$\sum_{i = 1}^n a_i b_i \leq (\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{\frac{1}{p}} (\sum_{i = 1}^n b_i^q)^{\frac{1}{q}}$

1. Montrer que si $x,y > 0$ alors $xy \leq x^p/p + y^q/q$

2. Montrer que l'inégalité de départ est vraie lorsque $(\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{\frac{1}{p}} = (\sum_{i = 1}^n b_i^q)^{\frac{1}{q}} = 1$

3. Montrer alors le cas général en choisissant $A > 0$ et $B > 0$ tel que $a'_i = a_i/A$ et $b'_i = b_i/B$ vérifient les hypothèses de la question 2

4. Soit $n\in \mathbb{N}$ et $p > 1$. Montrer qu'il existe deux constantes $C_1$ et $C_2 > 0$ à préciser tel que pour tous $a_1,....a_n > 0$ on ait : $C_1(\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{1/p} \leq \sum_{i = 1}^n a_i \leq C_2(\sum_{i = 1}^n a_i^p)^{1/p}$ [Source]

Montrer qu'il existe un multiple de 1996 dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre 4. [Source]

Soit $p$ dans $\mathbb P$ (l'ensemble des nombres premiers), différent de deux. Trouver tous les couples $(x;y) \in \mathbb Z^2$ tels que $x^2-y^2=p^2$. [Source]

On pose $A$ un ensemble de $x$ éléments, et $B$ un sous-ensemble de $A$ de $y$ éléments. Dénombrer le nombre de sous-ensembles de $A$ qui contiennent un et un seul élément de $B$. [Source]

On se place dans un repère orthonormé. Une souris, placée initialement en $(0;0)$ , cherche à atteindre un fromage, placé en $(a;b)$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb N$. Elle ne peut que se déplacer, à chaque étape de son chemin, d'une unité vers la droite, ou vers le haut. Combien de chemins peut-elle emprunter ? [Source]

Déterminer le nombre de $n$-uplets d'entiers naturels solutions de l'équation $1\cdot a_1 +2\cdot a_2 + ... +n \cdot a_n = n$ où n est un entier naturel donné.[Source]

De combien de façons peut-on choisir $k$ couples $(x_1,y_1),\ldots,(x_k,y_k)$ dans $\{1,\dots,n\}^2$, deux à deux distincts, de sorte qu'il existe une fonction réelle strictement croissante prenant en $x_i$ la valeur $y_i$ pour chaque $i \in \{1,\dots, k\}$ ? [Source]

[Source] (Intégrale de Poisson: quelle version laisser, celle de wallissen ou celle que je vous ai envoyé ?)

Dans un jeu de 32 cartes, combien y a t-il de façons de choisir 6 cartes, telles que l'on ait 3 noires, 3 cœurs et aucun as ? [Source]

On appelle mot de longueur $l$ tout succession de $l$ lettres distinctes ou non prises dans l'ensemble $E = \left \{ a, b, ..., y, z \right \}$ des 26 lettres de l'alphabet. Calculer

1. le nombre $N_l$ des mots de longueur $l$, puis le nombre $N$ des mots de longueur au plus égale à $l$;

2. mêmes questions, mais les lettres de chaque mot étant distinctes. [Source]

1. Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels $(p \leq n)$, montrer que l'on a :

   $\binom{p}{p} + \binom{p+1}{p} + ... + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1}$

2. Soit $n$ et $r$ deux entiers naturels $(1 \leq r \leq n$) . On forme tous les sous-ensembles à $r$ éléments de l'ensemble $\left \{ 1, 2, ..., n \right \}$ et l'on considère pour chacun de ces sous-ensembles, son plus petit élément. On appelle $f(n,r)$ la moyenne arithmétique de tous les membres ainsi obtenues.

Montrer que $f(n, r) = \frac{n+1}{r+1}$ [Source]

$\binom{p}{p} + \binom{p+1}{p} + ... + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1}$ [Source]

1. Montrer qu'il existe $\displaystyle z \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}$

   1. Montrer qu'il en existe une infinité.

   2. Montrer que si $z$ est un réel tel que $\displaystyle z + \frac{1}{z} \in \mathbb{Q}$ alors $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, z^n + \frac{1}{z^n} \in \mathbb{Q}$ [Source]

Combien y a t-il de nombre entiers inférieurs à $10^p$ et dont la somme des chiffres est inférieure ou égale à 3? [Source]

Si on coupe $n$ fois un camembert, combien de morceaux obtient-on au maximum ? (on coupe droit) [Source]

Soit n un entier naturel non nul. On note Z le nombre de diviseurs positifs de n, P leur produit. Etablir une relation mathématique entre n, P, et Z.[Source]