Soient $a_1, a_2,\cdots, a_n$des réels strictement positifs tels que $a_1a_2\cdots a_n = 1$. Montrer que $a_1+a_2+\cdots+ a_n \geq n$ [Source]

On note $\tau(n)$ le nombre de diviseurs d'un entier naturel non nul $n$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$.

Montrer que : $\displaystyle \sum_{d|n}\tau(d)^3 = \left(\sum_{d|n}\tau(d)\right)^2$ [Source]

Soient $a\geq 2$ un entier et m et n deux entiers strictement positifs. Exprimer $\mathrm{pgcd}(a^m-1, a^n-1)$ en fonction de $a,m$ et $n$. [Source]

Démontrez que $\forall (x,n) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{N}^*$ on a :$x^n - 1 = (x-1) \sum_{k=1}^{n-1} x^k$ [Source]

Montrer que:

1. $\forall a,b$ et $\forall t > 0$, on a $ab \leq t a^2 + \frac{b^2}{4t}$ [Source]
2. $\forall t > 0$, $\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \frac{t}{2}\sum_{i=1}^n a_i^2 + \frac{1}{2t}\sum_{i=1}^n b_i^2$
3. $\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$ [Source]

Soit $z \in \mathbb{C}, p \in \mathbb{N}^*$, tel que $|z| = 1$ et $z^p \neq 1$.

Montrer que $\mathrm{Re}(\frac{1}{1-z^p}) = \frac{1}{2}$. [Source]

On définit le $n$-ième nombre de Fermat par la formule $F_n = 2^{2^{n}}+1$ avec $n$ appartenant à l’ensemble des entiers naturels, montrer que les entiers $F_n$ sont deux à deux premiers entre eux.

Retrouvez une autre démonstration de l'inifinitude de l'ensemble des nombres premiers [Source]

Par combien de zéros se termine le nombre $2004!$ ?[Source]

Existe t-il deux nombres irrationnels positifs $a$ et $b$ tels que $a^b$ soit rationnel? [Source]

Montrer que pour tout $n\geqslant 3$, il existe une suite d'entiers positifs distincts deux à deux tels que la somme de leur inverses vaut 1.[Source]

(IMO) Montrer que: $(a,b) \in (\mathbb{N^*})^2 , ab+1 \mid a^2+b^2$ montrez que $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ est un carré parfait. [Source]

Trouver tous les couples d'entiers $(x,y) \in \mathbb{Z}$ vérifiant: $1+x+x^2+x^3+x^4=y^2$ [Source]

Quel est le reste de la division euclidienne de $x^n$ par $(x-1)^3$ quand $n\geqslant 3$. [Source]

Soit $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ une application qui verifie la propriété $\forall n \in \mathbb N, f(n+1) > f(f(n))$ . Montrer que $\forall n \in \mathbb N,f(n)=n$

[Source]

Le polynôme $x^7+3x+3$ admet-il des racines rationnelles ? [Source]

Montrer que toute fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se décompose comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. [Source]

Déterminer les fonctions $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que pour tout $z \in \mathbb{C}$, $f(z)+if(\overline{z}) = 2i$ [Source]

Résoudre dans $\mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ l'équation $x^y=y^x$ [Source] (mettre cet exercice dans la partie analyse & arithmétique)

Soit $a$ un entier naturel non nul. On note $N$ le nombre des diviseurs de $a$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $N$ pour que $a$ soit un carré parfait (i.e. $\sqrt{a} \in \mathbb{N}$) et la prouver. [Source]

Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que si $n$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{n} \notin \mathbb{Q}$ [Source]

Soient $n$ dans $\mathbb{N}_*$, $a_1, ... a_n$, $b_1, ... b_n$ des réels. On définit la fonction $f$ par: $f(x) = \sum_{i=1}^{n}(a_ix + b_i)^2$

Montrer que $\left | \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right |\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}$ [Source]

Soit $n$ un entier naturel non nul et $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ des réels. Démontrez que :

$\sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i+ y_i)^2 }\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}+ \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}$ [Source]

Montrer que pour tous $x,y,z$ dans $\mathbb{R}_{+}^{*}$, on a: $x+y+z \leqslant 2(\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{x+z} + \frac{z^2}{y+x} )$ [Source]

Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $p\equiv 3 [4]$ [Source]

Soient $n\in\mathbb{N}^* \text{ et }a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...b_n$ des réels.

1. Montrer q que : $\left( \displaystyle\sum^n_{i=1} a_ib_i\right)^2 + \displaystyle\sum_{1\leq i \le j \leq n} (a_ib_j - a_jb_i)^2 = \left(\displaystyle\sum^n_{i=1}a_i^2\right)\left(\displaystyle\sum^n_{i=1}b_i^2\right)$
2. En déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec le cas d'égalité. [Source]

Déterminer le nombre de p-uplets d'entiers naturels solutions de l'équation $a_1 + a_2 + ... + a_p = N$ où $N$ est un entier naturel donné. [Source]

Montrer que la quantité $x + 2y + 3z$ prend une valeur maximale lorsque $x, y, z$ décrivent l'ensemble $S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3, x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}$ et préciser en quels points cette valeur est atteinte.

Remarque: Cette exercice nécessite de savoir l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pensez à le mettre après l'exo où l'on démontre CS. [Source]

On peut utiliser ou ne pas utiliser la question 1 pour démontrer la 2:

1. Montrer que chaque entier naturel non nul n s'écrit de façon unique telle que : $n=2^p(2q+1)$
2. Montrer que $H_n$ définie plus haut n'est pas un entier pour tout n>1 [Source]

Soient des entiers $x,y,z$ tels que: $x^2+y^2=z^2$. Démontrer que le produit $xyz$ est divisible par $60$. [Source]

Montrer que $\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}k^p=0$ pour $n>p$. [Source]

Résoudre (à la main !) l'équation $x^2+x=1111111122222222$. [Source]

Alice et Bob jouent à un jeu : Alice a mélangé un jeu de 32 cartes et a étalé les cartes en rang sur une table, face cachée. Elle va retourner une à une toutes les cartes. Entre le début du jeu et le moment où Alice retournera la dernière carte, Bob devra annoncer « Stop ! ». Il aura alors gagné si la carte suivante s'avère être rouge, et perdu sinon. Quelle est la meilleure stratégie pour Bob ? [Source]

Soit $p$ dans $\mathbb{P}$ (l'ensemble des nombres premiers).

1. Montrer que $\forall k \in N, 0 < k < p : \binom{n}{k}$ est divisible par $p$.
2. Montrer que pour tout $x \in N$, on a $x^p-x$ divisible par $p$.
3. En déduire le petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et $a$ est un entier non divisible par $p$, alors $a^{p-1}-1\equiv 0 \pmod p$. [Source]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$:

1. Soient $x_1, x_2, ..., x_n$ des réels positifs. Montrer que: $\left( \prod \limits_{i=1}^n {x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n {x_i}$
2. Application; Montrer que $\forall x \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}, \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n \leq \left( 1 + \frac{x}{n+1} \right)^{n+1}$. [Source]

Soit $x$ et $y$ dans $\mathbb N$*. Supposons qu'il existe $m$ et $n$ premiers entre eux tels que $x^m = y^n$. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul $z$ tel que $z^m = y$ et que $z^n = x$ [Source]