On se donne $a_0, \dots, a_n$ n+1 entiers rangés dans l'ordre croissant (pas forcément distincts).

Montrer qu'il existe $i \leq j$ deux indices tels que la somme $a_i + \dots + a_j$ est divisible par $n$. [Source]

Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Soient $A_1, ... , A_p$ des parties de $E$ telles que pour $1 \leq i \neq j \leq n$ on ait $A_i \neq A_j$ et $A_i \cap A_j \neq \emptyset$. Montrer que dans ces conditions, $p \leq 2^{n-1}$ et montrer que cette borne peut être atteinte. [Source]

Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ et pour tout couple d'entiers relatifs $(a;b)$ : si $a\equiv b [n]$ alors $a^{n} \equiv b^{n}[n^{2}]$ [Source]

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=818418#p818418 JeanN dit que c'est un exo de sup

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$ et $x_1,\ldots,x_n$ des réels tels que $0<x_1\leq \ldots\leq x_n.$

1. Démontrez qu'il existe un entier $r$ tel que $1\leq r\leq n$ vérifiant :

   pour tout entier $k$ avec $1\leq k\leq r$ on a : $\displaystyle\frac{1}{x_k}<\frac{1}{k}(1+\sum_{j=1}^k \frac{1}{x_j})$, et

   pour tout entier $k$ avec $r< k\leq n$, s'il en existe, on a : $\displaystyle\frac{1}{x_k}\geq \frac{1}{k}(1+\sum_{j=1}^k \frac{1}{x_j})$

   On fixe un tel entier $r$. Pour tout entier $k$ tel que $1\leq k \leq n$, on note $\displaystyle M_k=\frac{1}{k^k}(1+\sum_{j=1}^k \frac{1}{x_j})^k \prod_{j=1}^k x_j$.

2. Démontrez que pour tout entier $k$ tel que $1\leq k< r$, on a $M_{k+1}>M_k$. [Source]

Soient $a_0,..., a_n, b_0,..., b_n \in \mathbb C^*$ tels que pour tout $x \in \mathbb R, \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k = \sum_{k=0}^n b_k x^k.$ .

Montrer que : pour tout entier k compris entre 0 et n, $a_k=b_k$. [Source]

Soient $n$ et $k$ deux entiers avec $n\geq1$ et $k\geq2$.

Montrer qu'il est toujours possible de d'écrire $n^k$ comme la somme de $n$ entiers impairs consécutifs. [Source]

Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $x^9$ et $x^{13}$ soient rationnels. Est-ce que $x$ est rationnel ? Et si on remplace 9 et 13 par 6 et 9 ?

[Source]

Montrer que pour n un entier naturel supérieur ou égal à $2$, $n!$ est inférieur ou égal à $((n+1)/2)^n$. [Source]

Soient $a_1, ..., a_n$ des entiers compris entre 0 et $n-1$. Montrer qu'il existe $r, s \in \mathbb{N}$ (avec $1 \leq r \leq s \leq n$) tels que $\sum_{i=r}^s a_i \equiv 0 \pmod n$. [Source]

Montrer que dans une fête, il y a toujours deux personnes qui connaissent le même nombre de personnes [Source]

On suppose que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, $(p,q) \in \mathbb{N}^{2}$ et $\frac{p}{q}$ est une fraction réduite.

En considérant la fraction $\frac{2q - p}{p - q}$, démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel. [Source]

Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n$ n'est pas un carré, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel. [Source]