Dérivabilité

1. 1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions $n$ fois dérivables. Montrer la formule de Leibniz : $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k)}$
   2. En dérivant $n$ fois la fonction $x\mapsto x^{2n}$, donner une expression simple de $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$. [Source]

2. Une fonction dont la dérivée est nulle est-elle nécessairement constante ? Donnez un contre-exemple. [Source]

3. Une fonction dérivable (partout où elle est définie) dont la dérivée est positive est-elle nécessairement croissante ? [Source]

4. Trouver les fonctions $f$ de $\mathbb{R}^{+*}$ dans $\mathbb R$ dérivables et telles que $\forall(x,y)\in \mathbb{R}^{+*},\ f(xy) = f(x) + f(y)$. [Source]

5. Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ deux fois dérivables sur $\mathbb R$ et telles que : $\forall(x,y) \in R^2,\ f(x + y) + f(x-y) = 2(f(x) + f(y))$. [Source]

6. Soient $f,g$ deux fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R_+$ telles que $\forall (x,y) \in \mathbb R^2, f(x+y) \leq f(x)g(y)$. On suppose que $g(0) = 1$ et que $g$ est dérivable en $0$. Montrer que $\forall x \in \mathbb R, f(x) \leq f(0)e^{g'(0)x}$. [Source]

7. $I = [a,b]$ , $a < b$

   1. $f$ est continue sur $I$ , dérivable en $a$ et en $b$, avec $f'(b) < 0 < f'(a)$.

      Montrer que $f$ atteint son maximum en un point de $]a,b[$.

   2. $g$ est dérivable sur $[a; b]$, avec g'(a) < g'(b). Montrer que $g'$ prend toutes les valeurs de $[g'(a), g'(b)]$

   On rappelle que si f est continue sur le segment [a, b], l'image de $[a, b]$ par f est un segment $[\alpha, \beta]$ [Source]

8. On considère une fonction dérivable définie sur $\mathbb{R}$, de dérivée continuée, et dont la limite en plus l'infini est nulle. Est-ce que la dérivée de cette fonction a forcément une limite nulle en plus l'infini ?[Source]

9. Soit $a > 0$. Pour quelles valeurs de $b > 0$ existe-t-il une fonction $f : [0,b] \to \mathbb R$ partout dérivable, de dérivée continue, telle que $f(0) = a$ et $f'(x) \geq f(x)^2$ pour tout $x \in [0,b]$ ? [Source]

10. On suppose que $a$ et $b$ sont deux racines consécutives d'un polynôme $f$, mais non racines doubles, telle que $f(x) = (x-a)(x-b)g(x)$ avec $g(a) \neq 0$ et $g(b) \neq 0$

    1. Montrer que $g(a)$ et $g(b)$ ont même signe (On rappelle que $a$ et $b$ sont deux racines consécutives de $f$)
    2. Montrer qu'il existe un certain $x$ avec $a < x < b$ tel que $f'(x) = 0$
    3. Montrer que ce résultat est généralisable même lorsque $a$ et $b$ sont des racines multiples de $f$ [Source] HP: theoreme des bornes atteintes.

11. f est définie sur [0, 1], continue en 0. De plus, on suppose que $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{f(2x) - f(x)}{x}$ est un réel l.

    Montrer que f est dérivable en 0 et que $f'(0) = l$. [Source]