Limites de fonctions

1. Montrer que $E(x)^{E(x)}/x^x$ n'admet pas de limite en $+\infty$. [Source]

2. Déterminer la limite en $0$ de l'expression suivante : $\dfrac{1-\cos(x)}{\frac{x^2}{2}}$. [Source]

3. Et si on démontrait que $\lim_{x\to+\infty}\frac{\exp (x)}{x}=+\infty$ ? [Source]

4. Quelles sont les fonctions $f \colon \mathbb Q \to \mathbb Q$ telles que pour tout $(x,y) \in \mathbb Q^2$, $f(x) -f(y) \leq (x-y)^2$? [Source]

5. Soit $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f(x)e^{f(x)} = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$. Montrer que :

   1. $f$ est croissante

   2. $\lim_{x \to +\infty }f(x) = \infty$

   3. $\frac{f(x)}{\ln x}$ tend vers 1 quand x tend vers $+\infty$ [Source]

6. Soit $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur $]0, 1[$ telle que $\lim_{x \to 0 }f(x) = 0$ et $\lim_{x \to 0 }\frac{f(x) - f(\frac{x}{2})}{x} = 0$

   Calculer $\lim_{x \to 0 }\frac{f(x)}{x}$ [Source]

7. [Source] JeanN dit que c'est un exo de sup