Logarithme et Exponentielle

1. Résoudre dans $\mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ l'équation $x^y=y^x$ [Source]

2. Que pouvez-vous dire des solutions de l'équation: $(2x-3)e^{-2x}+6=0$

3. Soient $n \in \mathbb N^*, x \in \mathbb ]0;+\infty[$. On considère l'équation : $(E): e^x - x^n = 0$ Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $(E)$ admet-elle deux solutions ? [Source]

4. Montrer que le logarithme naturel de tout entier naturel supérieur ou égal à $2$ est irrationnel. [Source]

5. Soit $a$ un nombre réel et $(s_n)$ la suite réelle définie par $s_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1}=\mathrm{e}^{2s_n}-\mathrm{e}^{s_n}$.

   Étudiez son comportement. [Source]