Suites

1. Soient $\theta$ un élément de $]-\pi;\pi[-\left \{ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right \}$ et $u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2 \cos(k\theta)}$. Pour quelles valeurs de $\theta$ la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge-t-elle ? [Source]

2. Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $n!$ le produit des entiers consécutifs $1,\ldots,n$. Par exemple : $3!=1\times 2\times 3=6$.

   1. Soit $x$ un nombre réel. Etudiez la convergence de la suite $(\frac{x^n}{n!})$.
   2. Étudiez la convergence de la suite $(\frac{n!}{n^n})$. [Source]

3. Montrer que $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}} = 2$. [Source]

4. Démontrez que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a : $0\leq\frac{1}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq \frac{4}{n}$. [Source]

5. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose: $I_n=\int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^n}{x^2} dx$

   1. On pose, pour tout $x\in [1,e]:\, F(x)=\frac{1+\ln x}{x}$. Calculer $F'(x)$ puis en déduire $I_1$.
   2. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, $\forall n\in\mathbb{N}^*:\,\, I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n$
   3. Montrer par récurrence que, $\forall n\in\mathbb{N}^*:\,\, \frac{I_n}{n!}=1-\frac{1}{e}(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})$
   4. En utilisant un encadrement de $\ln x$ sur l'intervalle $[1,e]$, montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a: $0\leqslant I_n\leqslant 1$
   5. En déduire : $\lim_{n\to+\infty} 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$

   HP à savoir: IPP [Source]

6. Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par: $u_0 \geq 0$ et pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, $u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1}$. [Source]

7. Discuter la convergence d'une suite $u_{n}$ vérifiant: $u_{0} >0$ et $\forall n\in \mathbb{N} , 0<u_{n+1}\leq 2 - \frac {1}{u_{n}}$ [Source]

8. Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de réels positifs. On pose pour tout $n > 0, y_n = \sqrt{x_1+\sqrt{x_2+...+\sqrt{x_n}}}$

   1. Soit $a > 0$. Ici $x_n=a$ pour tout n. Etudier la convergence de $(y_n)$
   2. Soit $a,b > 0$. Même question lorsque $x_n=ab^{2^n}$ pour tout $n$.
   3. Montrer que $(y_n)$ converge si et seulement si la suite $(x_n^{2^{-n}})$ est bornée. [Source]

9. Pour tout $n$ entier naturel non nul on pose $H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$. Montrer que la suite $(H_n - \ln(n))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge. [Source]

10. Pour tout entier naturel non nul n on définit $u_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ et $v_n=u_n+\frac{1}{n!}$. Montrer que les suites $u_n$ et $v_n$ convergent vers la même limite (qui est $e$) et prouver que cette limite est irrationnelle. [Source]

11. Soient $p,q$ deux réels dans $]0,1[$ tels que $p+q=1$ et $p>q$. Déterminez toutes les suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui vérifient :

    1. $u_0=pu_1$
    2. Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n = pu_{n+1}+qu_{n-1}$
    3. $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers 1. [Source]

12. Soient $a \in \mathbb{R}$, $q \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$. Trouver une expression générale de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=qu_n+a$ [Source]

13. Déterminer la limite, quand $n$ tend vers l'infini, de la suite définie, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, par $u_n = \frac{1}{n}(1 + \cos^2 (\frac{\pi}{n}) + \cos^2( \frac{2\pi}{n}) + ... + \cos^2 (\frac{n\pi}{n}))$ [Source]

14. Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite définie par $u_{n}=\sum_{k=2}^{n}\ln(1-\frac{1}{k^2})$ pour tout $n \geq 1$.

    Déterminer la limite de $(u_n)$ en $+\infty$ [Source]

15. On définit l'exponentielle complexe par : Pour tout $z = a+ib$ avec $a,b$ réels, $\exp(z) = \exp(a)\exp(ib)$

    Montrer que pour tout $z \in \mathbb{C}$ on a: $\left(1+\frac{z}{n}\right)^n \to \exp(z)$ [Source]

16. Montrer que la suite $\cos(n)$ diverge. [Source]

17. Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+2} \leq \frac{u_{n+1} + u_n}{2}$. Montrer que la suite converge. [Source]

18. Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On suppose que $(\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{2^{n-k}})_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

    Montrer que $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge aussi. [Source]

19. Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels croissante. Soit $\Delta$ une fonction à valeurs réelles continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant $\Delta(x+y)\leq \Delta(x)+\Delta(y)$ pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

    On suppose que $(\sum_{k=0}^n \Delta^{n-k}(a_k))_{n\in\mathbb{N}}$ converge. (Précision : $\Delta^{p}(x)$ signifie $\Delta$ appliquée $p$ fois en $x$ donc $\Delta(\Delta(\Delta(...\Delta(x)...))$, on a de plus bien sûr $\Delta^0(x)=x$)

    Montrer que $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge aussi. [Source]

20. Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels décroissante. On suppose que $(\sum_{k=0}^n a_k)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

    Montrer que $n\,a_n\rightarrow 0$. [Source]

21. Soit $P_n$ la fonction définie, pour $n \geq 1$, par :

    $P_n(x) = x^n + x^{n-1} + ...+ x - 1$ avec $x \in \mathbb{R}^+$

    1. Montrer que $\exists ! \varepsilon_n > 0, P_n(\varepsilon_n) = 0$ (il existe un unique $\varepsilon_n$ )

    2. Montrer que la suite $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ est décroissante et convergente.

    3. Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty} \varepsilon_n$ [Source]

22. On pose $S_n = \sum_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k\pi}{n})$. Calculer $S_n$ et en déduire la limite de $S_n/n$. [Source]

23. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle bornée, telle que quelque soit $n >0, 2u_n \le u_{n-1} + u_{n+1}$

    Montrer que $lim_{n \to +\infty}(u_{n+1} - u_n) =0$. [Source]

24. Soit $(u_{n})$ une suite réelle définie par $u_0$ et $u_1$ tels que $u_0 < u_1$ et pour tout entier $n > 1$ par la relation $u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}}{2}$.

    Montrer que $u_n$ converge. [Source]

25. Une suite réelle définie par $u_0$ et $u_1$ dans $\Bbb R_+$ et pour tout entier $n\geq2$ par $u_n = \sqrt{u_{n-1}u_{n-2}}$

    Montrer que $(u_n)$ converge et donner sa limite. [Source]

26. Soit $(u_n)$ une suite d'entiers naturels deux à deux distincts.

    Montrer que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. [Source]

27. Si $N$ est un entier naturel, on note $S(N)$ la somme des chiffres (en base 10) de $N$. Montrer que la suite $S (2^{n})$ diverge vers l'infini .

28. HP à savoir: IPP

    1. Montrer que, pour tout entier naturel n: $e = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^n}{n!} e^t dt$ (sans formule de Taylor).
    2. Montrer que, pour tout entier naturel n : $0 < e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < \frac{3}{(n+1)!}$.
    3. En déduire que $e$ est irrationnel. [Source]

29. On se donne $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites à valeurs dans $[0;1]$ et on suppose que le produit $(u_nv_n)$ tend vers 1. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ aussi. [Source]

30. Exhiber deux suites monotones strictement positives dont le quotient diverge dans $\overline{\mathbb{R}}$ c'est à dire n'admet pas de limite, qu'elle soit finie ou infinie. [Source]

31. Calculer $\lim_{n \to +\infty} \prod_{k=2}^n \left ( \frac{2^{k-1}}{2^k-1} \right ) ^{2^{k-n}}$. [Source]

32. On considère la suite dont le premier terme est 1 et dont chaque terme suivant est égal à 2 plus le produit de tous ses prédécesseurs. [Source]