Lois à densité

1. Soient $n$ un entier naturel et $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires telles que pour tous $x_1,\dots,x_n$ réels,

   $\mathbb P(X_1 \leq x_1 \text{ et } \ldots \text{ et } X_n \leq x_n) = \mathbb P(X_1 \leq x_1) \times \cdots \times \mathbb P(X_n \leq x_n).$

   On pose $M_n = \max(X_1,\dots,X_n)$ et on suppose qu'il existe une fonction $F$ telle que pour tout $x$ réel et pour tout $i\in \{1,\dots,n\}$, $P(X_i \leq x) = F(x)$.

   1. Montrer que pour tout $x$ réel, $\mathbb P(M_n \leq x) = F(x)^n$.

   2. Supposons qu'il existe une fonction $G$ non constante telle que, pour tout $x$ réel, $\lim_{n\to\infty} \mathbb P(M_n \leq x) = G(x)$. Que dire d'une variable aléatoire $Y$ telle que, pour tout $x$ réel, $\mathbb P(Y \leq x) = G(x)$ ?

      On va chercher une transformation affine de $M_n$ pour laquelle la fonction limite $G$ est non dégénérée, c'est à dire telle qu'il existe un $x$ réel pour lequel $0 < G(x) < 1$. On cherche donc des réels $a_n>0$ et $b_n$ et une fonction $G$ non dégénérée tels que, pour tout $x$ réel, $G(x) = \lim_{n\to\infty} \mathbb P(a_nM_n + b_n \leq x)$.

   3. Supposons que chacune des $X_i$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$. On prend $a_n = n$ et $b_n = -n$. Quelle est la fonction limite $G$ correspondante?

   4. Supposons que chacune des $X_i$ suit la loi exponentielle de paramètre $1$. Déterminer des réels $a_n$ et $b_n$ qui conviennent. [Source]

2. Trouver toutes les fonctions de densité $f$ continues sur $\mathbb{R}^+$ telles que, si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi de densité $f$ sur $\mathbb R^+$, alors pour tous $a,b$ réels avec $0 \leq a\leq b$, on a $\mathbb P(X > a) = \mathbb P(X > b)\mathbb P(X> a-b).$ [Source]