Miscellaneous

1. Déterminer les fonctions $f: \mathbb N \to \mathbb N$ telles que, pour tout entier naturel $n$, $f(n) + f(f(n)) + f(f(f(n))) = 3n$. [Source]

2. Soit $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ une application qui verifie la propriété $\forall n \in \mathbb N, f(n+1) > f(f(n))$ . Montrer que $\forall n \in \mathbb N,f(n)=n$

3. [Source] (@Siméon: mettre ou ne pas mettre ?)

4. 1.On considère des fonctions définies sur R et à valeurs dans $\mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty\}$.Si $f$ est une telle fonction on pose pour tout p réel :

   $f^*(p) = \sup_{x \in \mathbb{R}} (p x - f(x)) \in \mathbb{R} \cup \{ \infty \}$

   Calculer $f^*$ puis $(f^*)^*$ pour les fonctions suivantes :

   1. $f(x) = x^2$
   2. $f(x) = \exp(x)$
   3. $f(x) = 1$
   4. $f(x) = 1/x$ si $x > 0$ et $\infty$ sinon [Source]

5. (Intégrale de Poisson, @Siméon: quelle est la version que vous avez trouvé plus accesible, celle de wallissen ou celle que je vous ai envoyé?) [Source]

6. $a < b$. On suppose que f admet une primitive F sur $[a, b]$. Montrer que $f$ admet toutes les valeurs possibles comprises entre $f(a)$ et $f(b)$. On pourra utiliser les fonctions G et H définies par:

   $G(x) = \frac{F(x) -F(a)}{x -a}$ si $x \in ]a; b]$ et $G(a) = f(a)$;

   $H(x) = \frac{F(x) -F(b)}{x -b}$ si $x \in [a; b[$ et $G(b) = f(b)$. [Source] HP: Cet exercice nécessite de savoir le théorème des accroissements finis.

7. (Pour les plus motivés) Étant donné $A$ une partie de $[0, 1]$ et $u_0 \in [0, 1]$ on définit la suite $(u_n)$ de la façon suivante: $u_{n + 1}$ est la proportion de termes de $u_0$ à $u_n$ qui appartiennent à $A$. Est-il vrai que $(u_n)$ converge nécessairement, quel que soit l'ensemble $A$, et $u_0$ ? [Source] (@Siméon: naturellement c'est un exo de suite, mais il est trop difficile)

8. Caractériser les valuations de $\mathbb Q$, c'est à dire les applications $v: \mathbb Q^{\times}\to \mathbb Z$ telles que, pour tous $x, y \in \mathbb Q^{\times}$, on ait $v(xy) = v(x)+v(y)$ et $v(x+y) \ge \min(v(x),v(y))$. [Source]

9. Soient $n$ un entier supérieur à $2$ et $a_1, a_2, ..., a_n$ des réels.

   On suppose que les racines (complexes) de l'équation $x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_n = 0$ d'inconnue $x$ sont en progression arithmétique de raison $r$.

   Calculer $r$ en fonction de $a_1$ et $a_2$. [Source]

10. Pour tout $r>0$ et tout $z_0 \in \mathbb{C}$ on note $D(z_0,r) = \{z\in \mathbb{C} ,\: |z-z_0| \leq r\}$ le disque fermé de centre le point d'affixe $z_0$ et de rayon r.

    On se donne un polynôme $P\in \mathbb{C}[X]$ non constant.

    a. Justifier que si $|x| \to +\infty$ alors $|P(x)| \to +\infty$

    b. En déduire qu'il existe M un réel strictement positif tel que $|x| \geq M \Rightarrow |P(x)| > |P(0)|$

    On admet que $|P|$ admet un minimum sur $D(0,M)$ (c'est à dire qu'il existe $x_0 \in D(0,M)$ tel que pour tout $x \in D(0,M)$, $|P(x_0)| \leq |P(x)|$ ) c'est une conséquence du théorème des bornes que vous verrez en sup.

    c. Justifier que $|x_0|<M$ puis qu'il existe M' un réel strictement positif tel que $D(x_0, M')\subset D(0,M)$

    On suppose par l'absurde que $P(x_0) \neq 0$ et on pose $Q(x) = P(x + x_0)$ (ainsi Q est également un polynôme non constant, mais $|Q|$ atteint son minimum en 0 et ce minimum est non nul)

    On pose $Q(x) = q_0 + q_kx^k + x^{k+1}R(x)$ ou R est un polynôme quelconque, avec $q_k \neq 0$

    d. Justifier que $q_0 \neq 0$ puis montrer qu'il existe un complexe z tel que $z^k = -q_0/q_k$

    On considère f définie sur $]-M';M'[$ par $f(x) = |Q(zx)/q_0|$

    e. Montrer que f atteint son minimum en 0 et préciser la valeur de ce minimum

    f. En déduire une contradiction en majorant f et conclure. [Source]