1. Deux joueurs A et B jouent avec des jetons verts et bleus de valeurs respectives 11 et 7.

    A donne une somme (entière) d'argent N à B. (B peut rendre la monnaie : par exemple, pour donner 1, A donne 2 jetons verts et B rend 3 jetons bleus).

    On note E l'ensemble des nombres qui permettent une transaction directe (sans rendre d'argent).

    1. Montrer que la propriété est vraie pour n=77. En déduire l'ensemble des entiers la vérifiant.

    2. Établir une méthode permettant de déterminer le nombre minimal de jetons employés dans la transaction. [Source]

  2. Un maçon dispose de briques indistinguables pour construire un mur vertical sans trous. Ainsi, toute brique se trouve soit sur le sol, jouxtant une autre brique, soit posée sur une autre brique. Déterminer le nombre de formes de murs distincts que le maçon peut construire. [Source]

  3. Montre que pour tout entier naturel , divise [Source]

  4. Soit . Pour quelles valeurs de existe-t-il une fonction partout dérivable, de dérivée continue, telle que et pour tout ? [Source]

  5. Soit un entier supérieur à .

    Montrer que :

    [Source]

  6. Montrer que n'a pas de solution dans . [Source]

  7. On définit, pour tout entier , .

    Existe-t-il tels que la fonction polynômiale ait 6 racines entières distinctes ?

  8. (Très dur) Soit tel qu'il existe avec .

    Montrer que n est somme de trois carrés d'entiers. [Source]

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