Montrer que toute fonction se décompose comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. [Source]
Déterminer les fonctions telle que pour tout , [Source]
Soit un entier naturel non nul. On note le nombre des diviseurs de . Trouver une condition nécessaire et suffisante sur pour que soit un carré parfait (i.e. ) et la prouver. [Source]
Soit un entier naturel non nul. Montrer que si n'est pas un carré parfait, [Source]
Soient dans , , des réels. On définit la fonction par:
Montrer que [Source]
Soit un entier naturel non nul et des réels. Démontrez que :
Montrer que pour tous dans , on a: [Source]
Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers tels que [Source]
Soient des réels.
- Montrer q que :
- En déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec le cas d'égalité. [Source]
Déterminer le nombre de p-uplets d'entiers naturels solutions de l'équation où est un entier naturel donné. [Source]
Montrer que la quantité prend une valeur maximale lorsque décrivent l'ensemble et préciser en quels points cette valeur est atteinte.
Remarque: Cette exercice nécessite de savoir l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pensez à le mettre après l'exo où l'on démontre CS. [Source]
On peut utiliser ou ne pas utiliser la question 1 pour démontrer la 2:
- Montrer que chaque entier naturel non nul n s'écrit de façon unique telle que :
- Montrer que définie plus haut n'est pas un entier pour tout [Source]
Soient des entiers tels que: . Démontrer que le produit est divisible par . [Source]
Montrer que pour . [Source]
Demontrer que divise (avec E la fonction partie entière) pour entier naturel. [Source]
Résoudre (à la main !) l'équation . [Source]
Alice et Bob jouent à un jeu : Alice a mélangé un jeu de 32 cartes et a étalé les cartes en rang sur une table, face cachée. Elle va retourner une à une toutes les cartes. Entre le début du jeu et le moment où Alice retournera la dernière carte, Bob devra annoncer « Stop ! ». Il aura alors gagné si la carte suivante s'avère être rouge, et perdu sinon. Quelle est la meilleure stratégie pour Bob ? [Source]
Soit dans (l'ensemble des nombres premiers).
- Montrer que est divisible par .
- Montrer que pour tout , on a divisible par .
- En déduire le petit théorème de Fermat : si est premier et est un entier non divisible par , alors . [Source]
L'entier naturel étant supérieur à , montrez que l'équation d'inconnue réelle : possède une unique solution dans . Etudiez le comportement de [Source]
Soit :
- Soient des réels positifs. Montrer que:
- Application; Montrer que . [Source]
Soit x et y dans N*. Supposons qu'il existe m et n premiers entre eux tels que . Montrer qu'il existe un entier naturel non nul z tel que et que [Source]