Nombres complexes

1. Soient $a,b,c,d$ quatre réels tels que $ac - bd = ad + bc = 0$. Montrer que $a=b=c=d=0$.

   [Source]

2. Soient $\alpha, \beta, \gamma$ des complexes. Comparer $|\alpha + \beta + \gamma|$ et $|\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha|$. [Source]

3. Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes. Montrer que $|z_1-z_2|=|1-\overline{z_1}z_2|$ si et seulement si $|z_1| = 1$ ou $|z_2| = 1$ [Source]

4. Soit $G$ une partie de $\mathbb{C^*}$ telle que $1 \in G$, pour tous $g, h \in G$, on $gh \in G$ et pour tout $g \in G$, on a $1/g \in G$. On suppose de plus que pour tout $g \in G$, on a $|g - 1| < \sqrt{3}$. Montrer que $G = \{1\}$. [Source]

5. Soient $A,B,C,D$ d'affixes $a,b,c,d$ tels que $|a|=|b|=|c|=|d|$.

   Montrer que $ABCD$ est un rectangle si et seulement si $a+b+c+d=0$. [Source]

6. Caractériser les situations d'égalité de :

   $|(a-c)(b-d)|\le |(a-b)(c-d)|+|(a-d)(b-c)|$ avec $a,b,c,d$ complexes. [Source]