Géométrie

1. Démontrer géométriquement que $\pi > 2\sqrt 2$. [Source]

2. On dispose d'une boite à sucre au format 10x10x10. Combien de sucres au format 1x2x4 peut-on mettre dans cette boîte ? (sans les casser bien sûr) [Source]

3. Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets. [Source]

4. Soit $P$ un point intérieur au triangle $ABC$. Les droites $(AP),(BP)$ et $(CP)$ coupent $H$ un cercle circonscrit au triangle $ABC$ respectivement au point $K,L$ et $M$. La tangente en $C$ à $H$ coupe la droite $(AB)$ en $S$. On suppose que $SC=SP$. Montrer que $MK=ML$. [Source]

5. On considère deux polygones du plan P et Q de même aire. Montrer qu'il est possible de découper P en un nombre fini de morceaux (avec des coupures rectilignes), de les déplacer, puis de les recoller pour obtenir Q. [Source]

6. On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé dans lequel $A$ est le point de coordonnées $(-1,0)$ et $B$ celui de coordonnées $(1,0)$.

   On se donne un réel $x>1$. Montrer qu'il existe un réel $y>0$ tel que, si on note $M$ le point de coordonnées $(x,y)$, l'angle $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$ soit maximal et vérifier qu'on a alors l'égalité $x^2-y^2=1$ pour en déduire un procédé de construction du point-solution $M$. [Source]

7. Question ouverte : Comment construiriez-vous un pentagone régulier à la règle non graduée et au compas ? [Source]

8. Pour tout $n \in \mathbb N^*$, on note $c_n$ le nombre de couples $(x,y) \in{\mathbb N}^2$ tels que $x^2+y^2 \leq n$.

   Montrer que la suite de terme général $\dfrac{c_n}{n}$ converge et déterminer sa limite. [Source]

9. On considère le plan muni d'un repère orthonormé. On se donne un polygone simple (non croisé) dont tous les sommets ont des coordonnées entières. On note $i$ le nombre de points à coordonnées entières intérieurs au polygone, et $b$ ceux sur son bord. Montrer que l'aire du polygone est $i + \frac{b}{2} - 1$. [Source]

10. Soit un triangle ABC, et trois points D, E et F des droites (BC), (AC) et (AB) respectivement, différents des sommets du triangle. Montrer que les points D, E et F sont alignés, si et seulement si :

    $\frac{\overline{DB} }{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1.$ [Source]

11. Étant donnés trois cercles deux à deux disjoints, tracer les trois points d'intersection des tangentes extérieures communes à chaque paire de cercles, et montrer que ces trois points sont alignés. [Source]

12. (Problème de Cayley:) Combien y a-t-il de polygones convexes de k cotés dont les sommets coïncident avec des sommets et les cotés avec des diagonales d'un polygone convexe donné de n cotés ? [Source]

13. (Dur) Let $n\geq 3$ be an integer, and consider a circle with $n+1$ equally spaced points marked on it.

    Consider all labellings of these points with the numbers $0,1,\dots$$, n$ such that each label is used exactly once; two such labellings are considered to be the same if one can be obtained from the other by a rotation of the circle. A labelling is called beautiful if, for any four labels $a<b<c<d$ with $a+d=b+c$, the chord joining the points labelled $a$ and $d$ does not intersect the chord joining the points labelled $b$ and $c$.

    Let $M$ be the number of beautiful labellings and let $N$ be the number of ordered pairs $(x,y)$ of positive integers such that $x+y\leq n$ and $\gcd(x,y)=1$. Prove that $M=N+1$. [Source]

14. (Dur) Assign to each side $b$ of a convex polygon $P$ the maximum area of a triangle that has $b$ as a side and is contained in $P$. Show that the sum of the areas assigned to the sides of $P$ is at least twice the area of $P$. [Source]

15. On considère un triangle $ABC$ supposé non rectangle. Soit $I$, $J$, $K$ les pieds des hauteurs du triangle $ABC$, issues respectivement de $A$, $B$, $C$. Soit $M$ et $N$ les projetés orthogonaux respectifs de I sur $(AC)$ et $(AB)$. On note $I_1=S_{AB}(I)$ et $I_2=S_{AC}(I)$.

    1. Démontrer que :

    a) $(MN)//(I_1I_2)$.

    b) Les points $I$, $K$, $J$,$I_2$ sont alignés.

    c) La droite $(MN)$ contient les milieux respectifs $J'$, $K'$ de $(I,K)$ et $(I,J)$. [Source]

16. On considère mille points distincts du plan euclidien. Montrer qu'il existe une droite qui sépare le plan en deux parties, telle que chacuns des demi-plans ainsi créés contienne 500 points. [Source]

17. Soit $P_n$ le périmètre d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de rayon $r$.

    1. Trouver une formule générale de $P_n$

    2. Retrouver la limite de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ en $0$ [Source]

18. On trace le cercle $C_1$ d'équation $(x-4)^2+y^2=1$ dans le plan. Soit $d$ la droite de pente positive qui passe par l'origine et qui est tangente à $C_1$ en un point qu'on note $P_1$. Le cercle $C_2$ est tangent à l'axe des abscisses, contient le point $P_1$ et a pour centre un point de la droite $d$. On appelle $P_2$ le point d'intersection de $C_2$ et de l'axe des abscisses. Le cercle $C_3$ est tangent à $d$, contient le point $P_2$ et a pour centre un point de l'axe des abscisses. On appelle $P_3$ le point d'intersection de $C_3$ et de $d$ Le cercle $C_4$ est tangent à l'axe des abscisses, contient le point $P_3$ et a pour centre un point de la droite $d$.

    On répète la procédure ci-dessus et on note $s_n$ l'aire du cercle $C_n$. Quelle est la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty s_n$ ?

    [Source]