Fonctions trigonométriques

1. Soient f et g deux fonctions sinusoïdales de pulsations non nulles respectives $\omega$ et $\omega '$ c'est à dire que pour tout $t \in \mathbb{R}$,

   $f(t)=cos(\omega t)$

   $g(t)=cos(\omega 't)$

   Montrer que $f+g$ est une fonction périodique si et seulement si $\frac{\omega}{\omega '} \in \mathbb{Q}$ [Source]

   1. La fonction $\arctan$ est définie de $\mathbb{R}$ dans $]-\pi/2;\pi/2[$ comme la fonction réciproque de $\tan$ ; ainsi pour tout $x \in ]-\pi/2;\pi/2[, \arctan(\tan(x))=x$.

   Pour tout $x \in ]-\pi/2;\pi/2[$ (vous pouvez trouver sa dérivée en dérivant l'expression $\tan(\arctan(x))=x$).

   1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, montrer que $\cos(2 \arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2}$.

   2. En déduire une expression de $\sin(2 \arctan(x))$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. [Source]

2. Calculer $\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3)$ (on pourra aussi trouver une interprétation géométrique du résultat) [Source]

3. Etudiez les équations d'inconnue réelle $x$:

   1. $\cos x+\sin x=1$
   2. $\cos^2 x+\sin x=1$
   3. $\cos^3 x+\sin x=1$

   Quand cela est possible, proposez plusieurs approches. [Source]

4. Montrer que pour tout reél $x$: $\cos (\sin x)> \sin (\cos x)$. [Source]

5. Montrer que : $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt {2 + .... + \sqrt{2} } } } = 2 cos( \frac{\pi}{2^{n+1}} )$ [Source]

6. 1. Préliminaires a.Soient x,y deux réels. Démontrez que $\cos(x)+\cos(y)=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}).$

      b.Démontrez que l'équation $\cos(x)=1/\sqrt{3}$ possède une unique solution dans l'intervalle $[0,\pi]$. On la note a dans la suite.

   2. Démontrez que, pour tout entier naturel non nul n, il existe un nombre entier N_n qui n'est pas un multiple de 3 tel que $\cos(na)=\frac{N_n}{\sqrt{3}^n}.$

   3. Démontrez que le nombre $a/\pi$ n'est pas un nombre rationnel.

   4. Généralisez.[Source]