1. Un disque est divisé en p secteurs égaux, où p est un nombre premier.

   1. De combien de façons différentes ces p secteurs peuvent être colorés avec n couleurs données, sachant que deux coleurs sont considérées comme différentes que lorsque aucune des deux ne puisse être obtenue à partir de l'autre en faisant tourner le cercle ?

   (Remarque Il n'est pas necessaire que les différents secteurs soient de couleurs différentes ou même que deux secteurs adjacents soient de différentes couleurs.)

   1. En déduire le petit théorème de Fermat : si $p$ est un nombre premier, alors $n^p - n$ est divisible par $p$ pour tout $n$. [Source]

2. Pour tout entier $N$ , on note $\pi(N)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $N$. Montrer que $\lim_{n \to +\infty}\frac{\pi(N)}{N} = 0$.

   En d'autres termes, la "probabilité" qu'un nombre entier pris au hasard soit premier est nulle.

[Source]

1. Soit $x$ et $y$ appartenant à $\mathbb N$ tels que $3x^2 + x = 4y^2 + y$. Montrer que $x-y$ est un carré parfait. [Source]

2. Soient $a$ et $b$ deux complexes fixés. Démontrer que : pour tout entier naturel $n$, $(a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}$. [Source]

1. Montrer que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier et que si $2^n+1$ est premier, alors $n$ est une puissance de $2$.

   Montrer que, si $q$ et $p$ sont premiers, $x$ est entier et $q\mid x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1$, alors $q=p$ ou $p\mid q-1$

   Montrer que si $p$ est premier, $n$ et $q$ des entiers strictement positifs tels que $q\mid (n+1)^p-n^p$, alors $p\mid q-1$. [Source]

2. Soit $n,k$ deux entiers naturels avec $k$ impair. Montrer que $1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$ est divisible par $1 + 2 + 3 + \cdots + n$. [Source]

3. Soit $x$ un disque à $p$ secteurs réguliers coloriés. Pour tout $k$, on note $r^k(x)$ le disque colorié obtenu par rotation d'angle $\dfrac{2\pi k}{p}$.

   Montrer que si $p$ est premier, alors l'ensemble des $r^k(x)$ pour $k \in \mathbb{N}$ ne peut avoir que $1$ ou $p$ éléments.

   (Plus généralement, le nombre de disques obtenus par rotation est un diviseur de $p$.) [Source]

4. Résoudre l'équation d'inconnue $n$ entier naturel : $(n+3)^n=\sum_{i=3}^{n+2} i^n$ [Source]

5. Résoudre dans $\mathbb{Z}^3$ l'équation $x^2+y^2=7z^2.$ [Source]

6. Exhiber deux suites monotones strictement positives dont le quotient diverge dans $\overline{\mathbb{R}}$ c'est à dire n'admet pas de limite, qu'elle soit finie ou infinie. [Source]

7. Caractériser les valuations de $\mathbb Q$, c'est à dire les applications $v: \mathbb Q^{\times}\to \mathbb Z$ telles que, pour tous $x, y \in \mathbb Q^{\times}$, on ait $v(xy) = v(x)+v(y)$ et $v(x+y) \ge \min(v(x),v(y))$. [Source]

8. Au début, chacune des six boîtes $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ et $B_6$ contient un jeton. Deux types d’opération sont possibles :

   • Type 1 : Choisir une boîte non vide $B_j$ avec $1 \leq j \leq 5$ ; ôter un jeton de la boîte $B_j$ et ajouter deux jetons dans la boîte $B_{j + 1}$
   • Type 2 : Choisir une boîte non vide $B_k$ avec $1 \leq k \leq 4$ ; ôter un jeton de la boîte $B_k$ et échanger les contenus des boîtes (éventuellement vides) $B_{k+1}$ et $B_{k+2}$.

   Montrer qu'il est possible, à la suite d’un nombre fini de telles opérations, que les boîtes $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ soient vides et que la boîte $B_6$ contienne $2010^{2010^{2010}}$ jetons. [Source]

9. (Théorème de Wilson:) Soit $p>1$ un entier naturel. Démontrer le théorème de Wilson: $p$ $premier$ $\Leftrightarrow (p-1)!+1\equiv 0 [p]$ . [Source]

10. Soient $a$,$b$,$c$,et $d$ des entiers positifs impairs vérifiant $a<b<c<d$, $ad=bc$, $a+d=2^{k}$,$b+c=2^{m}$ pour deux entiers $k$ et $m$. Montrer que $a=1$. [Source]

11. Soit $n$ un entier naturel, montrer que parmi $2n-1$ entiers (non nécessairement distincts) il est possible d'en choisir $n$ dont la somme est un multiple de $n$. [Source]

12. Soit $s(n)$ la somme des chiffres d'un entier positif $n$. Montrer que pour tout entier strictement positif $n$, on a $\displaystyle \frac{s(n)}{s(2n)} \le 5$ [Source]