Intégration

1. En utilisant le le fait que $\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx$ (aussi appelé intégration par partie) : Soit $f(x) = \begin{cases}x - [x] & \text{si } [x]\text{ impair}\\1 + [x]-x & \text{si }[x]\text{ pair}\end{cases}$, où $x\mapsto [x]$ est la fonction partie entière. Calculez : $\pi^2/10 \displaystyle\int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$. [Source]

2. On suppose $a<b$. Calculer $\int_{a}^{b} \sqrt{(x-a)(x-b)} dx$[Source]

3. Calculer $\int\limits_{0}^1 \frac{\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)}\, dx$. [Source]

4. Calculer $\displaystyle{\int_{-1}^{1}\,\,\frac{\cos(x)}{e^{\frac{1}{x}}+1} dx }$. [Source]

5. Soient $a<b$ deux réels et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction dérivable, de dérivée continue et telle que $f(a) = f(b) = 0$. Soit $M \geq 0$ un réel. On suppose que pour tout $x \in [a, b]$, on a $|f'(x)| \leq M$. Montrer que $\int_a^b f \leq M(\frac{b - a}{2})^2$. [Source]

6. 1. Calculer la dérivée sur $\mathbb{R}_+^*$de $x \to x \ln(x)$. En déduire une primitive de la fonction $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$.

   2. Calculer les dérivées sur $\mathbb{R}$ de $x \to xe^{x^2}, x \to x^3e^{x^2}, x \to x^5e^{x^2}$, etc. De la même manière que ci-dessus, calculer (ce sera probablement plus une conjecture qu'une preuve rigoureuse) une primitive de $x \to e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$.

   3. Hors-programme. En déduire le développement en série de $x \to e^{x^2}$ puis $\exp$. [Source]

7. Montrer que, si $f$ est une fonction définie sur le segment $[a,b]$ admettant sur ce segment des dérivées $f', f'', ..., f^{(n)}$ continues, on a: $f(b) - f(a) = \frac{b-a}{1!}f'(a) + ...+ \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) + \int_{a}^{b} \frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(x)dx$ HP à savoir: IPP [Source]

8. On admet que si $a < b$ sont des réels et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue, alors $|\int_a^b f| \leq \int_a^b |f|$.

   On se donne $x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable telle que pour tout $t \in \mathbb{R}$, on ait $x'(t) = x(t - 1)$. On suppose qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $t \in \mathbb{R}$, on ait $|x(t)| \leq M$. Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a $x(t) = 0$.[Source]

9. 1. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ à valeurs strictement positives. Démontrez l'inégalité : $\int_0^1 \ln{f} \leq \ln{\int_0^1 f}$.

   2. Soient $f,g : [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ deux fonctions continues, monotones de même monotonie. Démontrez : $\int_0^1 f \times \int_0^1 g \leq \int_0^1fg$.

   3. Soit $f : [0,1]\rightarrow \mathbb{R_+}$ une fonction continue. On note $I=\int_0^1 f$. Démontrez : $\sqrt{1+I^2} \leq\int_0^1 \sqrt{1+f^2} \leq 1+I$. [Source]

10. Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $a < b$

    Trouver la valeur de $\alpha \in \mathbb{R}$ qui minimise $\displaystyle I = \int_a^b(f(x)-\alpha)^2\text{d}x$ et interpréter le résultat. [Source]

11. Calculer $I= \int_0^{\pi}\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1+\sin(x)^2}}$ sans utiliser de primitive. [Source]

12. 1. Faites un dessin, et étudiez l'intégrale ( donc l'aire sous la courbe) de la fonction inverse sur $\mathbb R_+^*$.

    2. Soit $n$ dans $\mathbb N^*$, on note $D_n$ la somme de ses diviseurs. Montrer que $D_n \leqslant n +n\ln(n)$. [Source]