Intégration

  1. En utilisant le le fait que (aussi appelé intégration par partie) : Soit , où est la fonction partie entière. Calculez : . [Source]

  2. On suppose . Calculer [Source]

  3. Calculer . [Source]

  4. Calculer . [Source]

  5. Soient deux réels et une fonction dérivable, de dérivée continue et telle que . Soit un réel. On suppose que pour tout , on a . Montrer que . [Source]

    1. Calculer la dérivée sur de . En déduire une primitive de la fonction sur .

    2. Calculer les dérivées sur de , etc. De la même manière que ci-dessus, calculer (ce sera probablement plus une conjecture qu'une preuve rigoureuse) une primitive de sur .

    3. Hors-programme. En déduire le développement en série de puis . [Source]

  6. Montrer que, si est une fonction définie sur le segment admettant sur ce segment des dérivées continues, on a: HP à savoir: IPP [Source]

  7. On admet que si sont des réels et est continue, alors .

    On se donne dérivable telle que pour tout , on ait . On suppose qu'il existe tel que pour tout , on ait . Montrer que pour tout , on a .[Source]

    1. Soit une fonction continue sur à valeurs strictement positives. Démontrez l'inégalité : .

    2. Soient deux fonctions continues, monotones de même monotonie. Démontrez : .

    3. Soit une fonction continue. On note . Démontrez : . [Source]

  8. Soit une fonction continue de dans et avec

    Trouver la valeur de qui minimise et interpréter le résultat. [Source]

  9. Calculer sans utiliser de primitive. [Source]

    1. Faites un dessin, et étudiez l'intégrale ( donc l'aire sous la courbe) de la fonction inverse sur .

    2. Soit dans , on note la somme de ses diviseurs. Montrer que . [Source]

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